相続人が支払いをしなければなりません。

「相続人は、相続開始の時から、被相続人の財産に属した一切の権利義務を承継する。」（民法８９６条）

と規定されており、これは、プラスの財産（預金、土地など）だけでなく、借金などのマイナスの財産も相続することを意味します。

相続人は、相続放棄という手段をとることができますが、借金のみ相続放棄をするといったように、一部の財産（借金を含む）のみを放棄できませんので、ご両親に借金以外にもプラスの財産がある場合には、相続財産を全て確認した上で、相続放棄を検討するのが一般的です。